Купила машину с перебитыми номерами, полиция выдала мне отказную при регистрации. Машина нигде не числится, могу ли я все-таки поставить ее на учёт?

Поставить на учет ТС, которое не существует, невозможно. Если номера не соответствуют номерам ТС, присвоенным при изготовлении -  ее просто нет.  Сейчас  довольно долго будут проверяться все ТС такой же марки и модели, чтобы понять, что это за ТС, кто был ее собственник, и в какой момент перебиты номера. То есть поиск виновника по базам ГИБДД и иным, будет вестись.  Однако Вы не можете быть признаны собственником несуществующей машины, на учет ее не поставят. Только в случае, если будет установлен факт гибели ТС с номерами, которые должны быть на этой ТС (например, в ДТП, такое бывает), возможно установить в судебном порядке факт наличия других номеров и, соответственно, другой ТС, тогда Вы указываетесь как собственник и ее присваиваются номера. В ином случае это невозможно. Но взыскать деньги с продавца Вы можете, если докажете, что он знал или мог знать о факте перебитых номеров.