Должен ли иностранный гражданин платить налог при вступлении в наследство на территории РФ?

Здравствуйте,

доля в праве собственности на квартиру облагается налогом на имущество физических лиц.

Налоговый кодекс РФ

Статья 408. Порядок исчисления суммы налога
3. В случае, если объект налогообложения находится в общей долевой собственности, налог исчисляется в соответствии с пунктом 1 настоящей статьи с учетом положений пункта 8 настоящей статьи для каждого из участников долевой собственности пропорционально его доле в праве собственности на такой объект налогообложения.
В случае, если объект налогообложения находится в общей совместной собственности, налог исчисляется в соответствии с пунктом 1 настоящей статьи с учетом положений пункта 8 настоящей статьи для каждого из участников совместной собственности в равных долях.

Если вы получили в наследство квартиру вы становитесь плательщиком налога на имущество физических лиц (ст. 401 НК РФ).
При этом срок нахождения имущества в собственности исчисляется со дня открытия наследства, то есть с даты смерти наследодателя.
(п. 8 ст. 396, п. 7 ст. 408 НК РФ; ч. 6 ст. 1, ч. 2 ст. 14, ч. 1 ст. 28 Закона от 13.07.2015 N 218-ФЗ), а не с даты, когда Вы зарегистрируете право на квартиру.
Дата, с которой начисляется налог на имущество физических лиц, определяется по следующим правилам: если наследство открыто до 15-го числа месяца включительно, налог начисляется с начала этого месяца; если наследство открыто после 15-го числа месяца, налог начисляется с начала следующего месяца (п. 5 ст. 408 НК РФ).

При наследовании имущества НДФЛ уплачивать не нужно.

Не забудьте, что  наследники, принявшие наследство, отвечают по долгам наследодателя солидарно, в пределах стоимости перешедшего к наследнику наследственного имущества (п. 1 ст. 1175 ГК РФ). Это касается и долгов по налогам наследодателя.

Освободиться от обязанности уплачивать долги наследодателя можно только отказавшись от наследства.

Дополню:

расчитать налог на имущество можно самостоятельно с помощью сервиса на сайте ФНС России https://www.nalog.ru/rn72/service/nalog_calc/ 

Налог подлежит уплате налогоплательщиками в срок не позднее 1 декабря года, следующего за истекшим налоговым периодом (ст.409 НК РФ).

Поскольку налогоплательщиками налога  признаются физические лица, обладающие правом собственности на имущество, признаваемое объектом налогообложения (ст.400 НК РФ), для иностранных граждан исключений нет.

При оформлении наследства у нотариуса однократно потребуется уплатить госпошлину. Об определении ее размера доступно изложено здесь http://law-divorce.ru/gosposhlina-pri-vstuplenii-v-nasledstvo/