Могу ли я, как ближайшая родственница, оспорить завещание после смерти бабушки?

Здравствуйте!
"Бабушка при жизни оформила документы на квартиру на племянницу." - это означает, что право собственности на квартиру, перешло от бабушки к племяннице на основании договора дарения или договора купли-продажи.
"могу ли я, как ближайшая родственница, оспорить завещание? "- если бабушка подарила/продала квартиру, то племянница не могла получить квартиру путем вступления в наследство, ведь квартира уже её собственность. 
Соответственно, тут что-то одно может быть, или вы хотите оспорить завещание, или вы хотите оспорить договор дарения (или договор купли-продажи).
Ваша бабушка, как собственник квартиры, могла распорядиться своим имуществом, так как считала нужным, в том числе и подарить, продать, завещать. (статья 209 Гражданского кодекса РФ)
Так как вы являетесь заинтересованным лицом (наследником по праву представления), то вы можете обратиться в суд для оспаривания завещания, договора дарения, договора купли-продажи. Но, для этого вам нужно будет доказать недействительность сделки.
В соответствии со ст. 168 - 179  ГК РФ, сделка может быть недействительной, если 
1) нарушает требования закона или иного правового акта;
2) совершенна с целью, противной основам правопорядка или нравственности;
3) является мнимой или притворной сделкой;
4) совершенна гражданином, признанным недееспособным;
5) совершенна несовершеннолетним, не достигшим четырнадцати лет;
6) совершена юридическим лицом, в противоречии с целями его деятельности;
7)  совершенна без необходимого в силу закона согласия третьего лица, органа юридического лица или государственного органа либо органа местного самоуправления;
8) совершенна несовершеннолетним в возрасте от четырнадцати до восемнадцати лет;
9) совершенна гражданином, ограниченным судом в дееспособности;
10) совершенна гражданином, не способным понимать значение своих действий или руководить ими;
11) совершенна под влиянием существенного заблуждения;
12) совершенна под влиянием обмана, насилия, угрозы или неблагоприятных обстоятельств.

Согласно ст.  578 Гражданского кодекса РФ
1. Даритель вправе отменить дарение, если одаряемый совершил покушение на его жизнь, жизнь кого-либо из членов его семьи или близких родственников либо умышленно причинил дарителю телесные повреждения. В случае умышленного лишения жизни дарителя одаряемым право требовать в суде отмены дарения принадлежит наследникам дарителя.
2. Даритель вправе потребовать в судебном порядке отмены дарения, если обращение одаряемого с подаренной вещью, представляющей для дарителя большую неимущественную ценность, создает угрозу ее безвозвратной утраты.
3. По требованию заинтересованного лица суд может отменить дарение, совершенное индивидуальным предпринимателем или юридическим лицом в нарушение положений закона о несостоятельности (банкротстве) за счет средств, связанных с его предпринимательской деятельностью, в течение шести месяцев, предшествовавших объявлению такого лица несостоятельным (банкротом).
4. В договоре дарения может быть обусловлено право дарителя отменить дарение в случае, если он переживет одаряемого.
5. В случае отмены дарения одаряемый обязан возвратить подаренную вещь, если она сохранилась в натуре к моменту отмены дарения.

    В соответствии со ст. 1131 Гражданского кодекса РФ
1. При нарушении положений настоящего Кодекса, влекущих за собой недействительность завещания, в зависимости от основания недействительности, завещание является недействительным в силу признания его таковым судом (оспоримое завещание) или независимо от такого признания (ничтожное завещание).
2. Завещание может быть признано судом недействительным по иску лица, права или законные интересы которого нарушены этим завещанием.Оспаривание завещания до открытия наследства не допускается.
Совместное завещание супругов может быть оспорено по иску любого из супругов при их жизни. После смерти одного из супругов, а также после смерти пережившего супруга совместное завещание супругов может быть оспорено по иску лица, права или законные интересы которого нарушены этим завещанием.
3. Не могут служить основанием недействительности завещания описки и другие незначительные нарушения порядка его составления, подписания или удостоверения, если судом установлено, что они не влияют на понимание волеизъявления завещателя.
4. Недействительным может быть как завещание в целом, так и отдельные содержащиеся в нем завещательные распоряжения. Недействительность отдельных распоряжений, содержащихся в завещании, не затрагивает остальной части завещания, если можно предположить, что она была бы включена в завещание и при отсутствии распоряжений, являющихся недействительными.
5. Недействительность завещания не лишает лиц, указанных в нем в качестве наследников или отказополучателей, права наследовать по закону или на основании другого, действительного, завещания.

Соответственно, всё зависит от причин, по которым вы хотите оспорить переход права собственности на квартиру к племяннице и от имеющихся у вас доказательств, что это произошло незаконно, а также оценки суда. В данной ситуации вам лучше обратиться к юристу очно, практикующему по таким делам.