Могу ли со справкой о прохождении обучения в ВУЗе получить второе высшее образование?

Здравствуйте,

1. Могу ли с этой справкой получить второе высшее

нет, о втором вышем можно говорить тогда, когда у Вас на руках имеется диплом о высшем образовании.  а у вас неоконченное высшее.

2. Могу ли вместо диплома специалиста получить, например, бакалавра, чтобы доучиться еще 2-3 года на магистра и нормальный диплом получить?

нет, специалитет и бакалавриат это разные уровни образования (ст. 108  ФЗ "Об образовании") к тому же образовательная программа могла не предусматривать выдачу дипломов бакалавра по данной специальности.

что касается зачисления в магистратуру, согласно положений ст. 69 ФЗ "Об образовании" к освоению программ магистратуры допускаются лица, имеющие высшее образование любого уровня (т.е. нужен диплом о высшем образовании).

3. Надо ли, имея эту справку, сдавать ещё какие-либо экзамены при поступлении на 2-е высшее

на " 2-е высшее" с такой справкой Вы не поступите, но можете поступить  в вуз, где есть программы ускоренного заочного обучения (например, для тех, у кого есть диплом о высшем образовании период обучения составит 2,5-3 года, а для тех, кто проучился 2 года и более 3-3,5) либо  на 3 курс бакалавриата по программе очного образования.

4. В процессе обучения в ВУЗе получала платно дополнительную квалификацию, которую должны были вложить вкладышем в диплом. Имею ли право требовать этот документ от ВУЗа? Могут ли отказать? По сути ведь это тоже справкой выдать можно за 2,5 года.

если я Вас правильно поняла речь идет о дополнительном образовании, которое не оформляется отдельным дипломом, а просто выдается вкладыш, как приложение к основному диплому и без диплома по основной специальности сведения о дисциплаинах и количестве часов скорее всего будут оформлены академической справкой.

Ознакомьтесь с решением данной проблемы:

Получение диплома о не полном высшем образовании https://taktaktak.ru/problem/19183