Отказ в уменьшении размера алиментов на 1-го ребенка

Здравствуйте.
Если я правильно понимаю, второй ребенок от брака с вами. 
Согласно п. 1 ст. 119 Семейного кодекса РФ 1. если при отсутствии соглашения об уплате алиментов после установления в судебном порядке размера алиментов изменилось материальное или семейное положение одной из сторон, суд вправе по требованию любой из сторон изменить установленный размер алиментов или освободить лицо, обязанное уплачивать алименты, от их уплаты. При изменении размера алиментов или при освобождении от их уплаты суд вправе учесть также иной заслуживающий внимания интерес сторон.
Суд вправе снизить установленный размер алиментов, но не обязан это делать. Вашему супругу нужно было документально (выписка из банка, расписка от вас и т.д.) доказать, что на второго ребенка он переводит алименты согласно решению суда. Если он пытался доказать, что платит дополнительные деньги на ваше содержание, без решения суда, то это его личная инициатива.
"Могу ли я как 3-е лицо подать апелляцию" - можете по доверенности от супруга.
 

В соответствии со ст. 53 Гражданского процессуального кодекса РФ 
1. Полномочия представителя должны быть выражены в доверенности, выданной и оформленной в соответствии с законом.
2. Доверенности, выдаваемые гражданами, могут быть удостоверены в нотариальном порядке либо организацией, в которой работает или учится доверитель, товариществом собственников жилья, жилищным, жилищно-строительным или иным специализированным потребительским кооперативом, осуществляющим управление многоквартирным домом, управляющей организацией по месту жительства доверителя, администрацией организации социального обслуживания, в которой находится доверитель, а также стационарного лечебного учреждения, в котором доверитель находится на излечении, командиром (начальником) соответствующих воинских части, соединения, учреждения, военной профессиональной образовательной организации, военной образовательной организации высшего образования, если доверенности выдаются военнослужащими, работниками этих части, соединения, учреждения, военной профессиональной образовательной организации, военной образовательной организации высшего образования или членами их семей. Доверенности лиц, находящихся в местах лишения свободы, удостоверяются начальником соответствующего места лишения свободы.
3. Доверенность от имени организации выдается за подписью ее руководителя или иного уполномоченного на это ее учредительными документами лица, скрепленной печатью этой организации (при наличии печати)
4. Законные представители предъявляют суду документы, удостоверяющие их статус и полномочия.
5. Право адвоката на выступление в суде в качестве представителя удостоверяется ордером, выданным соответствующим адвокатским образованием.
6. Полномочия представителя могут быть определены также в устном заявлении, занесенном в протокол судебного заседания, или письменном заявлении доверителя в суде.
 

ст. 54 ГПК РФ
Представитель вправе совершать от имени представляемого все процессуальные действия. Однако право представителя на подписание искового заявления, предъявление его в суд, передачу спора на рассмотрение третейского суда, предъявление встречного иска, полный или частичный отказ от исковых требований, уменьшение их размера, признание иска, изменение предмета или основания иска, заключение мирового соглашения, передачу полномочий другому лицу (передоверие), обжалование судебного постановления, предъявление исполнительного документа к взысканию, получение присужденного имущества или денег должно быть специально оговорено в доверенности, выданной представляемым лицом.

Аргументом может быть, что после рождения второго ребенка, изменилось его (вашего супруга) семейное и материальное положение и у него нет возможности платить алименты на первого ребенка больше, чем на второго. И если на двух детей он платит более половины своего дохода, то да, это тоже стоит указать.
Но вы должны понимать, что если в судебном процессе вы активно защищаете своего супруга, что он платит вам алименты, да ещё и будете его представителем в апелляции, для судьи будет очевидно, что вы с супругом ведете совместное хозяйство и взыскание алиментов в судебном порядке на второго ребенка сделано специально для снижения алиментов на первого.

" но вопрос был о моем желании подать апелляцию от своего имени" - это зависит от того в качестве кого вы были привлечены в дело об уменьшении установленного размера алиментов. Если свидетель то нет, такого права у вас нет. Если как заинтересованное  или третье лицо, то да.
"так как полагаю, это нарушает права ребенка второго"  - даже если установленный ранее размер алиментов на первого ребенка будет снижен,  размер алиментов на второго ребенка от этого не изменится, он не станет больше, по решению суда.

 

Если вы имеете в виду справку от работодателя, то да, одновременно подает апелляционную жалобу и заявление о восстановление пропущенного процессуального срока. Срок будет восстановлен, если суд посчитает данную причину уважительной.